【超几何分布的期望和方差】在概率论与数理统计中，超几何分布是一种描述在不放回抽样中成功次数的概率分布。它常用于从有限总体中抽取样本时，计算某一类元素被抽中的概率。本文将总结超几何分布的期望和方差，并以表格形式清晰展示。
一、超几何分布简介
超几何分布适用于以下场景：
- 总体中有 $ N $ 个个体；
- 其中 $ K $ 个是“成功”个体；
- 从中随机抽取 $ n $ 个个体（不放回）；
- 设 $ X $ 表示这 $ n $ 个个体中“成功”的数量，则 $ X \sim \text{Hypergeometric}(N, K, n) $。
二、超几何分布的期望和方差公式
| 概念 | 公式 | 说明 |
| 期望 $ E(X) $ | $ \frac{nK}{N} $ | 表示在 $ n $ 次不放回抽样中，平均能抽到的成功数量。 |
| 方差 $ \text{Var}(X) $ | $ \frac{nK(N-K)(N-n)}{N^2(N-1)} $ | 反映了抽样结果的波动程度，受总体大小、成功数及样本量影响。 |
三、举例说明
假设一个班级有 50 名学生，其中 20 名是男生。从中随机抽取 10 名学生，设 $ X $ 表示其中男生的人数，则 $ X \sim \text{Hypergeometric}(50, 20, 10) $。
- 期望：$ E(X) = \frac{10 \times 20}{50} = 4 $
- 方差：$ \text{Var}(X) = \frac{10 \times 20 \times (50 - 20) \times (50 - 10)}{50^2 \times (50 - 1)} = \frac{10 \times 20 \times 30 \times 40}{2500 \times 49} \approx 1.96 $
四、总结
超几何分布的期望和方差是理解其统计特性的重要指标。通过上述公式，可以快速计算出在特定条件下成功的平均次数及其波动范围。对于实际问题，如质量检测、抽样调查等，掌握这些参数有助于更准确地进行数据分析和预测。
附：关键公式回顾
- 期望：$ E(X) = \frac{nK}{N} $
- 方差：$ \text{Var}(X) = \frac{nK(N-K)(N-n)}{N^2(N-1)} $
通过合理运用这些公式，能够更好地理解和应用超几何分布。
