【数学期望公式】数学期望是概率论和统计学中的一个重要概念，用于描述随机变量在长期试验中所表现出的平均值。它可以帮助我们预测某种事件在大量重复实验下的平均结果，因此在金融、工程、数据分析等领域有广泛应用。
一、数学期望的基本定义
数学期望（Expected Value），通常用符号 $ E(X) $ 表示，是对随机变量 $ X $ 的一个加权平均值，权重为该变量取相应值的概率。
对于离散型随机变量 $ X $，其数学期望定义为：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(x_i)
$$
其中：
- $ x_i $ 是随机变量 $ X $ 的第 $ i $ 个可能取值；
- $ P(x_i) $ 是 $ X $ 取 $ x_i $ 的概率。
对于连续型随机变量 $ X $，其数学期望定义为：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx
$$
其中：
- $ f(x) $ 是随机变量 $ X $ 的概率密度函数。
二、常见分布的数学期望公式
以下是一些常见的概率分布及其对应的数学期望公式：
| 分布名称 | 概率质量函数或密度函数 | 数学期望公式 |
| 伯努利分布 | $ P(X = k) = p^k(1-p)^{1-k} $ | $ E(X) = p $ |
| 二项分布 | $ P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ E(X) = np $ |
| 泊松分布 | $ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ E(X) = \lambda $ |
| 均匀分布 | $ f(x) = \frac{1}{b-a} $，$ a \leq x \leq b $ | $ E(X) = \frac{a + b}{2} $ |
| 正态分布 | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ E(X) = \mu $ |
| 指数分布 | $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x} $，$ x \geq 0 $ | $ E(X) = \frac{1}{\lambda} $ |
三、数学期望的应用场景
1. 风险评估与投资决策：通过计算不同投资方案的期望收益，帮助投资者做出理性选择。
2. 保险精算：保险公司利用期望值来确定保费水平和赔付金额。
3. 游戏设计：在赌博或游戏中，期望值可以用来判断游戏是否公平。
4. 数据科学与机器学习：期望值常用于模型评估和损失函数的设计。
四、总结
数学期望是衡量随机变量“平均表现”的重要工具，广泛应用于各个领域。理解并掌握不同分布的期望公式，有助于我们在实际问题中进行更准确的分析和预测。
通过合理使用数学期望，我们可以更好地把握不确定性背后的规律，从而做出更加科学的决策。
