【复数的运算公式】在数学中，复数是实数与虚数的结合体，通常表示为 $ a + bi $，其中 $ a $ 为实部，$ b $ 为虚部，$ i $ 是虚数单位，满足 $ i^2 = -1 $。复数在物理、工程、信号处理等领域有着广泛的应用。掌握复数的基本运算公式是学习复数的重要基础。
以下是对复数常见运算公式的总结，便于理解和记忆。
一、复数的基本形式
| 表达式 | 含义 |
| $ z = a + bi $ | 复数的标准形式，$ a $ 为实部，$ b $ 为虚部，$ i $ 为虚数单位 |
二、复数的加法与减法
设 $ z_1 = a + bi $，$ z_2 = c + di $，则：
| 运算 | 公式 | 说明 |
| 加法 | $ z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i $ | 实部相加，虚部相加 |
| 减法 | $ z_1 - z_2 = (a - c) + (b - d)i $ | 实部相减，虚部相减 |
三、复数的乘法
| 运算 | 公式 | 说明 |
| 乘法 | $ z_1 \cdot z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i $ | 使用分配律展开并合并同类项 |
四、复数的共轭
设 $ z = a + bi $，则其共轭复数为 $ \overline{z} = a - bi $。
| 运算 | 公式 | 说明 |
| 共轭 | $ \overline{z} = a - bi $ | 实部不变，虚部变号 |
五、复数的模（绝对值）
复数 $ z = a + bi $ 的模为 $
| 运算 | 公式 | 说明 | ||
| 模 | $ | z | = \sqrt{a^2 + b^2} $ | 表示复数在复平面上到原点的距离 |
六、复数的除法
设 $ z_1 = a + bi $，$ z_2 = c + di $，则：
$$
\frac{z_1}{z_2} = \frac{(a + bi)(c - di)}{c^2 + d^2}
$$
即：
$$
\frac{z_1}{z_2} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2}
$$
| 运算 | 公式 | 说明 |
| 除法 | $ \frac{z_1}{z_2} = \frac{(a + bi)(c - di)}{c^2 + d^2} $ | 利用共轭消去分母中的虚数部分 |
七、极坐标形式与欧拉公式
复数还可以用极坐标形式表示为：
$ z = r(\cos\theta + i\sin\theta) $ 或 $ z = re^{i\theta} $，其中 $ r =
| 表达式 | 含义 |
| 极坐标形式 | $ z = r(\cos\theta + i\sin\theta) $ |
| 欧拉公式 | $ e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta $ |
总结
复数的运算包括加法、减法、乘法、除法、共轭和模等基本操作。理解这些公式不仅有助于提高数学能力，也为后续学习复变函数、傅里叶变换等内容打下坚实基础。通过表格形式整理运算公式，可以更清晰地掌握复数的性质与应用。
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